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模型 | 构造基本不等式,探求函数最值技法

模型 | 构造基本不等式,探求函数最值技法
2020年09月30日 22:26 新浪网 作者 崔老师数学角

  利用基本不等式(以下简称为“公式”)求函数最值时,变形是基础,恰到好处的变形是关键.本文就如何构造“公式”模型,谈谈笔者的一些想法,不当之处,敬请批评指正.

  

  转化符号

  若含变量的项是负数,则提取负号,将其转化为正数,再利用“ 公式”求最值.

  

  配凑定值

  将目标函数恒等变形或适当放缩,配凑出两个式子的和或积为定值.

  

  验证符号

  使用“ 公式”时,必须检验等号能否成立,否则无法求得最值;若是多次使用“ 公式”时,则要注意多个取等条件是否同时成立.

  

  常量代换

  若已知条件中的“1”( 常量可化为“1”)与目标函数之间具有某种关系(尤其是整式与分式相乘模型),则实施“1”代换,配凑和或积为常数.

  

  代入消元

  对已知条件作适当变形,将某个变量用其余的变量线性表示,代入目标函数,构造和或积为定值,从而求得最值.

  

  整体换元

  若已知(或待求)因式之间具有某种关系,则引入一个或几个新的变量,替换掉原先某些因式,构造和或积为常数.常见的换元方法有比(倍)值换元、差值(增量)换元、单换元、双换元等.

  

  转化为不等式

  若已知“和与积”的等式关系,求“和与积”的最值,则利用“ 公式”转化为解不等式.

  

  乘方

  若目标函数带有根号,则先乘方后配凑为和为定值1.

  

  拆(添)项

  将已知条件中某些项拆(添)成多项之和或多个因式之积, 使得它们的和或积为常数.

  

  引入参数

  若对系数配凑难以下手时,则引入参数,利用待定系数法建立系数之间的比列关系或微调至“ 各数” 相等.

  十一

  齐次化

  将目标式变形为齐次分式(分子分母各项次数相同),通过换元或分离等手段得到和或积为定值.

  十二

  确定主次元

  若多元问题中变量较多时,则优先确定主次元,然后消去次元,从而转化为主元条件下利用“ 公式”求解目标函数最值.

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