利用基本不等式(以下简称为“公式”)求函数最值时,变形是基础,恰到好处的变形是关键.本文就如何构造“公式”模型,谈谈笔者的一些想法,不当之处,敬请批评指正.
一
转化符号
若含变量的项是负数,则提取负号,将其转化为正数,再利用“ 公式”求最值.
二
配凑定值
将目标函数恒等变形或适当放缩,配凑出两个式子的和或积为定值.
三
验证符号
使用“ 公式”时,必须检验等号能否成立,否则无法求得最值;若是多次使用“ 公式”时,则要注意多个取等条件是否同时成立.
四
常量代换
若已知条件中的“1”( 常量可化为“1”)与目标函数之间具有某种关系(尤其是整式与分式相乘模型),则实施“1”代换,配凑和或积为常数.
五
代入消元
对已知条件作适当变形,将某个变量用其余的变量线性表示,代入目标函数,构造和或积为定值,从而求得最值.
六
整体换元
若已知(或待求)因式之间具有某种关系,则引入一个或几个新的变量,替换掉原先某些因式,构造和或积为常数.常见的换元方法有比(倍)值换元、差值(增量)换元、单换元、双换元等.
七
转化为不等式
若已知“和与积”的等式关系,求“和与积”的最值,则利用“ 公式”转化为解不等式.
八
乘方
若目标函数带有根号,则先乘方后配凑为和为定值1.
九
拆(添)项
将已知条件中某些项拆(添)成多项之和或多个因式之积, 使得它们的和或积为常数.
十
引入参数
若对系数配凑难以下手时,则引入参数,利用待定系数法建立系数之间的比列关系或微调至“ 各数” 相等.
十一
齐次化
将目标式变形为齐次分式(分子分母各项次数相同),通过换元或分离等手段得到和或积为定值.
十二
确定主次元
若多元问题中变量较多时,则优先确定主次元,然后消去次元,从而转化为主元条件下利用“ 公式”求解目标函数最值.
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