对导数的认识
最近开始学习导数了。
其实，
很多的同学都是内心忐忑的。
原因也是简单，
因为早听说了“导数压轴”嘛。
但其实，
对于导数本身来说，
最基本的概念才是最重要的，
难一些的，
也大多只是基础知识的一再深入而已。
对于导数，
打好了基础，
才能做最好的超越。
所以，
今天就说说导数的基本概念了。
01
平均变化率
说到导数，
当然不能不说平均变化率。
什么叫平均变化率呢？
其实，
我们可以从两条线，
去进行对它的理解和分析。
首先，
就是我们熟悉的平均速度了
路程对时间的变化率。
当然，
如果从数学上来看，
平均速度，
其实就是“函数值对自变量的改变率”。
其实这个，
就是数学里的平均变化率了。
如果从图形上看，
平均变化率，
也是有着它的几何意义的。
嗯，
平均变化率的几何意义，
其实也就是曲线上一条割线的斜率：
02
瞬时变化率
瞬时这个字眼，
一定会让你想起瞬时速度的吧。
就是物体在某一时刻的速度。
确实数学里是相似的，
瞬时变化率，
就是函数在某一点处的斜率了。
某一点处的斜率，
那自然就应该是切线的斜率了。
左边逼近
这种动点从左边逼近，
称为左逼近，
用符号语言可以写成这个样子：
这个B又称为函数在该点处割线的左极限。
右边逼近
象是这种动点从右边逼近的，
称为右逼近，
用符号语言可以写成这个样子：
这个A又称为函数在该点处割线的右极限。
如果这个动点，
无论从左边还是右边逼近定点时，
平均变化率都逼近于同一个定值，
也就是说左极限等于右极限，
才说瞬时变化率是存在的，
而且瞬时变化率就等于这个定值。
而且这个定值，
从下面这个图中可以看出，
应该就是曲线在点A 处的切线斜率了。
那么问题就来了，
就象是下面这个函数，
当动点分别从左边和右边向点A逼近，
割线的最终位置并不相同，
也就是在点A处割线的左右极限并不相等时，
又该怎么办呢？
嗯，
左右为难时，
一般就认为该点处的瞬时变化率不存在了。
其实，
也就是曲线在该点处没有切线存在了。
我想，
这也是容易理解并接受的。
03
导 数
终于说到正题了。
究竞什么是导数呢？
其实书上的定义也非常简单了，
导数就是瞬时变化率嘛！
所以现在我们知道了，
导数就是瞬时速度，
瞬时速度就是导数，
两者是完全等价的了。
因此物理中，
物体运动时某一时刻的瞬时速度，
就是数学中函数在某点处的导数了。
更一般地，
如果将
一般化了，得到的函数称为导函数，
原来的函数叫原函数。
因为导数是定点处，
割线的左右极限存在且相等，
因此，
对于闭区间来说，
区间端点处的导数是一定不存在的。
如果函数在开区间内任意一点都存在导数，
就称这个函数在开区间内为可导函数。
在定义域内，
只要有一个点处的导数不存在，
就称该函数为不可导函数。
因此对于可导函数，
在每一点处割线的左右极限都存在，
而且一定相等。
其实就是每一点处都有切线了。
从切线的角度理解，
只要在开区间内，
曲线上每一点处切线都存在，
函数就一定是可导的。
04
导数的几何意义
导数的定义，
已经明确了导数的几何意义，
那就是切线的斜率了。
但一定要记住，
是切点处切线的斜率！
切线，
在几何中是一个热点话题。
其实，
在导数里也是一样的。
05
求导公式或法则
当然，
要想很顺利的求得导数值，
仅用定义显然是不够的，
必须要有一些常用公式或法则，
以简化求导的过程。
所以就必须要记住一些常见的，
求导公式和求导法则了。
求导公式
求导法则
有了这些求导公式和法则之后，
在求导时，
我们就可以放弃导数定义，
肆无忌惮地求导数了。
当然，
离导数的核心，
还有很长一段距离……
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