丘成桐：关于AI与数学的思考|人类|数学家|黎曼|学生|科学家

　　来源：数理人文

　　1900年8月，希尔伯特（David Hilbert）在巴黎国际数学家大会上提出了二十三个问题。此后一百二十余年，这些问题深刻地影响着数学学科的发展。其中的第十六问题是：平面上的多项式向量场，其极限环的数目是否有限？如果有限，能否找到只跟多项式次数有关的上限？前者在上世纪九十年代已被证明，后者至今未完全解决。我读中学的时候，就对这个问题很感兴趣。那时连次数为二的情形都无人知晓。多数人的看法是，哪怕只弄懂二次的情形，也是了不起的成就。几十年来，关于这个问题的讨论反反复复，多次有人宣布已经解决，后来发现并没有。现在AI宣称证明了极限环数目一致有界性这一弱化形式。希尔伯特提出的问题，一百多年来悬而未决，如今机器声称做到了，即使尚未验证，但对我而言，已是极大的震撼。

　　回想今年7月，我和众多理论科学家一起参加国际基础科学大会。那时候，人工智能只算得上是个“热门话题”，会中我们讨论了如何与AI合作进行研究。然而不到两个月，AI便以雷霆万钧之势，冲击数学中诸多未解的难题和猜想，那是数学家视作珍宝的智慧伊甸园，常人难以涉足。

　　短短几个月的工夫，AI已经成为数学和其他科学领域中重要的科研力量。我认为，这样的冲击不会停止，甚至会越来越多，越来越快。

　　一场海啸

　　我研究数学五十余年，多次目睹数学领域出现革命性的进展。例如我还是研究生时，亲历了 Weil 猜想的解决，我的同学 Thurston 解决了三维空间几何分类的重要情形的猜想，后来我自己证明了 Calabi 猜想，每一次我都很震撼。AI把人类累积的知识打包，几乎席卷了天底下的一切学问。它坐言起行，多快好省地把任务完成。AI的面世冲击着整个数学界，力度不啻于一场海啸。

　　除了希尔伯特第十六问题外，还有几个问题的推进令我感到震惊。OpenAI声称在准黎曼猜想上取得重大进展，极大地推进了无零点区域的边界。黎曼猜想是一个一百六十多年至今未解的难题，黎曼断言以他命名的函数，其非平凡零点都在实部为 1/2 的临界线上。准黎曼猜想则是一个弱得多的命题，但它的解决也能让我们更深入地了解素数的本质。

　　另一个是拉普拉斯特征函数零点集的豪斯多夫测度问题，这里的特征函数指拉普拉斯算子以及许多有趣的微分算子的特征函数。所谓零点集，就是特征函数取零值的那些点。我当年猜想，就拉普拉斯算子而言，零点集的豪斯多夫测度和特征值的平方根同量级。此前，该猜想在实解析情形（包括高维）已证明成立。令我吃惊的是，OpenAI 在二维光滑闭曲面情形证明了该上界，同时在三维及以上的维数构造了光滑度量的反例，表明上界不能普遍推广到高维。更让我惊讶的是它的处理方式。过去许多数学家在这个问题上攻坚，都未能成功。OpenAI不但宣称解决了，还发现原来的猜想只在一定维数范围内成立。

　　在我的研究领域——几何分析之中，AI也宣布解决了一些由我提出、但搁置了数十年的问题，都是很漂亮的数学问题，不由得令人惊叹科技的成就！

　　这些成果都不是AI独立做出来的，数学家参与其中。但从工作比重估量，及它开发了人类想不到做不到的方向，我们不能轻视它的贡献。

　　黑猫白猫

　　我常常强调，要搞清楚为什么做科学研究。科学家不是为了发表论文，也不是为了一顶帽子、一个头衔。做研究的初衷，是揭开大自然的奥秘，呈现宇宙万千现象背后的规律，这是我们工作动力的泉源，也是我们的热爱所在。这个初衷决定了我们该如何看待 AI，既然研究是为了求真，那么任何能帮助我们更快接近真理的工具，都应该在合理的范围内使用。白猫黑猫的说法，在这里也用得着。

　　望远镜出现以后，人们观测到天体的运行，天文学向前走了一大步。显微镜出现以后，人们看到细于毫端的世界，生物学向前走了一大步。第一台计算机出现以后，过去算不出来的东西可以轻松处理，许多学科都受到重大冲击。要知道，每一次新工具的产生，都推动了科学理论的发展；反过来，理论的发展也导致工具和机器的进步。量子力学诞生之前，仪器比较粗糙；诞生之后，电子仪器精密了很多，两者互为因果。AI也是这样的一件工具，只是量级不同。有人反对学生使用AI，我不赞同，AI是探索真理的新工具，我们应当伸开双手拥抱它，充分利用它。

　　然而利用归利用，成果归成果。面对着AI的答卷，我们必须抚心自问：对这些成果，这些发现，究竟理解了多少？如果并不理解或者理解甚少，那么你的贡献便要大打折扣了。举一个极端的例子，你利用AI解决了黎曼猜想，却并不完全理解其证明。那就要看你在其中出了多少力。力出得少，也许可以拿一个博士学位；完全没出过力，大概就不会获得奖励。不过，很难想象不花一点儿气力、单靠AI就能解决黎曼猜想，因此力总是有的，要算数的。这份力，比在一些无关大局的小问题上取得进展更重要。

　　不必担心

　　纵观科学史，数学以及基础科学的进展基本上主要依靠学者的个人努力，研究结果由近及远，逐渐汇成大流，是“微分”式的进步。AI不是这样，AI把人类自古以来获得的知识，通过强大的算力聚合在一起，一同往前走。它还在与人类的交流互动中，变得越来越强大，这是一种“积分”式的进步。那么，AI会不会取代数学家？我看不会。机器拥有浩瀚的知识，那都是人类做出来的学问。AI发展出一定的逻辑，分门别类，不知疲倦地尝试各种想法，迅速地进行各种演算，但至今它无法提出新的观念。AI纵然强大，但它也有其局限。AI让我们印象深刻的原因是它吸收了古往今来无数学者的想法，因此在短时间内突飞猛进，它现在的威力是非线性增长的！但是人类能够掌握的知识是有限的，所以这个威力会有上限的，过不了多时间，它的威力会非线性地趋向于一个常数，因此它不可能了解大自然中无穷无尽的奥秘！

　　有人会问：它解决了希尔伯特第十六问题，还不算产生了新的观念吗？

　　我的回答是：数学证明与数学理解是两回事。证明固然回答了重要的问题，但它为什么成立？哪些思想起到根本的作用？它还能应用在什么情况？到目前为止，机器的许多突破都是利用强大的算力给出反例；同时整合人类的不同思考，融合不同的系统。不过，机器也会犯错。它学习时可能把错误的想法也学习了，于是无法判断正误。

　　形式化这条路有很多障碍，普通的、简单的语言可以用形式语言来推导，但很多内容却无法推导出来。至少目前，并非什么理论都能形式化。用一个形式系统穷尽一个足够丰富的数学理论，这原则上做不到。形式化还受制于工具、知识库以及工程量等因素。

　　观念的跃迁

　　机器目前尚未能做到观念的跃迁。我举几个例子，说明什么叫“观念的跃迁”。第一个是定理证明。两千年前，人类第一次重要的观念转变，就是定理的证明。第二个是几何学的公理化。有了公理，人就可以用少数几条简单的公理统摄一个复杂的系统，从无数现象中找出规律。牛顿力学三大定律就是这样，它能够推导出当时已知的所有宏观力学现象。牛顿之前，没有人会想到，地球上如此繁复的现象竟然基于三条简单的定律。第三个是坐标系。笛卡尔发明坐标系，就是用两个三个数字确定一个点。现在回头看，做法非常简单，其实却是观念上革命性的突破。在这之前，人类理解几何主要靠直线、圆、椭圆、圆锥曲线。有了坐标系以后，图形可以写成方程，几何和代数连在一起了，我们对空间的理解完全改变了。再往下是虚数。从实数到虚数的跳跃，是一次罕见的重大观念突破。它刚面世时，不少优秀的数学家对它嗤之以鼻，认为它不是“真实”的，但事实证明，虚数不仅不虚，它更在数学中起着不可取代的作用。

　　对于科学发展而言，比解决难题更重要的是提出原创的观念。到目前为止，原创多来自人类的思维。它往往并不复杂，只是换了一个看待事物的角度而已。至少目前，我不相信AI能够归纳已知材料，自己发明“坐标系”。实现观念跃迁，我认为对 AI 来说是极难达成的。

　　数学家如何适应

　　保持直觉

　　计算一直是数学家获得直觉最基本的方式。像欧拉、高斯这样伟大的学者，对大量计算永不厌倦，从中获得关于数字的必要直觉。有人认为，如果完全使用 AI，那就会失去本应从数字、形状之中获得的直觉。但我认为这是可以补偿的。你会看到许多来自 AI 的数据。比如研究素数，如果要算到万亿级别，再也不能用手算了，但可以让 AI 代劳。我们从AI的大量输出中检视细节，寻找规律，这样也能获得直觉。

　　要紧的是真的去做、经常去看，而不是拿到结果就放在那里。通过机器，在众多学科中都能获得数据。比如在组合数学、量子场论、代数几何，甚至几何之中，都有不少有意思的数字。必须细致地研究它们来建立直觉，这一部分不能偷懒。

　　有一个现成的教训就是流体力学。大约五十年前，我还是学生的时候，人们对流体的研究基础是从渐近分析及非线性微分方程而来。计算流体力学（CFD）出现以后，让计算机运算一遍，拿个结果，就十分满意了。人们不再重视经典分析的方法。我认为，整个学科实际因此走偏了一些。

　　既要仔细研究机器产生出来的大量数据，自己也还是要做些计算，两者还是要兼顾的。

　　大胆预测

　　真理并不是一切条件都确定后才浮现出来的，人们往往在没有完全理解的情况下，就把它猜出来了。在这个过程中，问题并没有得到彻底的解决，但科学就是这样发展的。科学家基于手头一点点的线索作出猜测，数学上称之为“猜想”或者“公开问题”。受猜想吸引的学者会尝试破解，锲而不舍，一代接一代的证明猜想的对错。在探索的过程中，他们创造了新的工具，推动了学科的发展，这便是人类研究数学的历程。历史上许多学问，都是这样一步步走过来的。因此，不必等到别人全弄懂了才去跟随。年轻人应当投身大风大浪之中，迎难而上，尝试破解猜想，提出有价值的问题。

　　成功的科学家应该做到的，一是懂得如何提出有意思的问题，推动学科的重大进展；二是能够解决问题。如果不擅长其中之一，那就与擅长的人合作。不同领域科学家的合作造就了伟大的成果，留下了不少经典传奇，例如 Francis Crick 精通 X 射线衍射理论与螺旋衍射数学，而 James Watson 是遗传学专家，两人合作发现了DNA的双螺旋结构。不同技术不同背景的人合作，对于实现学科的飞跃，是十分必要的。

　　修养与情感

　　人的思维比机器复杂得多，人是有情感的，但机器却没有。我们会兴奋，也会沮丧。即使因挫败而沮丧，我们仍然能够不自知地从中学习到很多东西。这种感性的思维并非毫无助益，它有时候会开启新的视野，实现思维的跃升。

　　我常说，情动于中，始有创造。解决大问题的时候，科学家的主观情感起着极为重要的作用，那是上下求索时最根本也最持久的动力。面对牵动心弦的真理，我们往往把心力全抛进去，为它的简洁有力而惊叹，为它的美妙而激动。“苟真理之可知，虽九死其犹未悔。”这样一份赤诚，不是算法能给的。没有这份热爱，技术再好，也只能做跟随性的工作，做不出开创性的学问。

　　所以，我们要注重人文修养的培养，只有怀抱对自然真与美的由衷赞叹，好奇心与探索欲才有所安放。机器固然不知疲倦，但也毫无情感，它算得比我们快，却不会为一条定理而感动，也欠缺追寻大自然奥秘的激情。

　　许多朋友、学生只在乎解题，这样能拿到好成绩，能在顶级期刊发表，从而获得现实的回报。目前，学术机制正在鼓励大量发表论文，不问其真正的影响力，这种风气要不得，宜改。

　　担负责任

　　当前，教师们日常的话题是，如何评审学生利用AI完成的作业和论文。学生能对论文有八成的理解，即使不知道全部答案，那是好的；如果知道最终结果，虽不理解整个结构，但也不算太坏。在评定学生对论文或作业的贡献时，对这种差别要十分小心。许多教师目前要求学生陈述自己的成果，以考察理解的程度，这是个好办法。

　　我要指出的是，即使成熟的数学家，没有一个人是靠着弄懂每一条定理，才在研究上取得进展的，研究成果都是建立在一些并未完全理解透彻的观念和方法上，利用它们取得进展，完成证明，然后才回头试作深入了解。物理学家更是如此，他们不用弄明白数学工具的深刻涵义，却照样能做出预测，取得进展。我自己也是这样。完成一个证明后，觉得理解不够透彻，再回头看，反复检查，发觉有一处错了，就重做一遍。明白了错在哪里，也是一种进步。

　　数学里没有“部分的真理”，漏掉一个ε也不行。是真还是假，在AI生成内容大行其道的时代，依然是最重要的。数学界将会形成共识，如何判断这些内容的真伪和价值。我们必须理解AI辅助产生的关键论证，并努力检测其真伪，这是数学家们未来的方向。

　　中国数学家的处境

　　中国的大模型在日常应用上非常到位。向它提问资讯性和常识性的问题，它都能从容回答；请它写一首诗，也写得四平八稳。但这些能力和OpenAI等海外大模型这半年所完成的相比，实在相差太远！就数学、物理、应用科学前沿的探索而言，我们的机器远不如人家，这是一个残酷的现实。同时，我们还要面对许多政策壁垒，这就好比在望远镜时代，只有人家能用，我们不能用，那就大大吃亏了。期望我们的大模型能够飞快改进，达到和海外一样的水平。

　　此外，欧美参与推动AI辅助研究的人数众多，数千名学者与机器一同工作。我在哈佛的好几位同事，物理系和数学系的教授，都在与OpenAI合作。他们为数学家提供百万美元年薪，最顶尖的或可到七八百万美元，这个数目实在惊人。他们借助机器推进研究，反过来也增强了机器的能力。

　　AI辅助研究不是抽象的游戏，也不是作秀。它会改变AI最底层的做法，进一步帮助机器达至指数级的飞跃。而我们的AI，坦白说，最基础的模型多来自学习他人，在别人工作的基础上作改进，当然能快一点，但于底子无补。这个差距或将以指数的方式拉开，这是我真正担心的。

　　AI 不停学习，不停进步。海外的人工智能模型正在以非线性的速度增长，如果还以为靠线性增长就能追来，那是行不通的。一直在后面跟着别人步伐，恐怕只会落后。眼下只有一条路，那就是集合足够多的人力，发展出自己原创的数学AI模型。

　　这就是我组建人工智能与数学实验室联盟的原因。我们需要许许多多出色的学者，才能使机器思考得更有效率、推理得更准确。联盟成员机构的一千余位数学家将共同努力，自主研发一个真正有用的人工智能数学专用模型，实现非线性增长，与西方一较短长。这项工作必须在数月内推进，而不是数年。数学中的AI、物理中的AI、工程中的AI等方面都要全速前进，绝对不能慢下来。

　　与此同时，我担心的另一面：机器的力量是如此宏大，会否让年轻人泄气，不想再做数学了，反正比不过它，何必多费力气？应试培养出来的年轻人尤其容易这样想，这是需要认真对待的问题。我们必须放弃急功近利，鼓励学生为探索大自然而努力做学问。当前是我们改革教育、端正研究态度的一个重要时刻。在AI浪潮之下，只有重新锚定教育与科研的出发点，才能应对AI的冲击，使AI成为强力的辅助工具。

　　结语

　　我从1969年开始做研究，在数学、物理、应用科学与工程都有涉猎，但从未见过学术界受到这样重大的冲击。短短半年内，如此众多的难题纷纷被攻破化解，这是过去千年未见的新局面。

　　我深信任何数学问题最终都会被解决——由人解决，或由人借助AI解决。然而，真理是无穷的。无论人类还是AI都不能了解所有真理，但AI的能力将越来越强，将会对我们有更大的帮助。比如，量子力学诞生一百年来，连希尔伯特也没能很好的理解其中的突破，我们至今仍在探索其中最基本规律和概念，我期待AI能够帮助我们解答这些问题。

　　浪来了，就到大海上冲，迎浪而上，不要躲避，做研究本来就是如此。

　　于我而言，这是最兴奋的时代，也是最危险的时代。合理使用AI，我们的创获将是划时代的，但处理不当，亦会带来灾难性的后果。■