典型例题分析1:
设双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1,F2.若在双曲线的右支上存在一点P,使得|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率e的取值范围为()
A.(1,2]
B.(√2,2]
C.(√2,2)
D.(1,2)
解:∵P在双曲线的右支上,
∴|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|=2a,
∴|PF2|=a≥c﹣a
∴e=c/a≤2
又∵b>a,
∴c2﹣a2>a2,
∴e=c/a>√2
∴e∈(√2,2]
故选 B
考点分析:
双曲线的简单性质.
题干分析:
先利用双曲线的定义,得焦半径|PF2|=a,再利用焦半径的取值范围,得离心率的取值范围,再由已知b>a求得双曲线的离心率范围,两个范围求交集即可得双曲线的离心率范围。
典型例题分析2:
已知双曲线x2﹣3y2=﹣1的两条渐近线的夹角为()
A.π/6
B.π/6或5π/6
C.π/3
D.π/3或2π/3
解:双曲线的标准方程为y2/(1/3)﹣x2=1,
则渐近线方程为y=±√3x/3,
由y=√3x/3得渐近线的斜率k=√3/3=tanθ,则θ=π/6,
则两条渐近线的夹角为2θ=2×π/6=π/3,
故选:C
考点分析:
双曲线的简单性质.
题干分析:
求出双曲线的渐近线,结合直线的斜率求出直线的倾斜角即可得到结论.
典型例题分析3:
双曲线M:x2-y2/b2=1的左,右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则P点的横坐标为 .
考点分析:
双曲线的简单性质.
题干分析:
求得圆O的方程,联立双曲线的方程,求得P的横坐标,再由双曲线的定义,和直角三角形的勾股定理,可得c,b,化简整理可得所求横坐标的值.