衡宇 发自 凹非寺

　　量子位 | 公众号 QbitAI

　　前不久用Fable 5推翻雅可比猜想的Anthropic研究员，又吭哧吭哧和两个人类伙伴带着Claude，做出了668阶哈达玛矩阵！

　　（好数学家不挑AI模型，doge）

　　不过这人每次有成果都不明说，发一堆只有内行才看得懂的东西。

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　　可恶的是Fable拒绝解密这条神奇推文，人类不得不使用GPT 5.6 Sol来一探究竟。

　　让我来为大家翻译成人话！

　　Anthropic研究员、数学家Levent Alpöge报告称，他们找到了解决668阶哈达玛矩阵的方案，并感谢由三名人类和Claude组成的团队。

　　哈达玛矩阵（Hadamard Matrix）这道题只有加减乘除，具体是这样的：

　　一个方阵，里面只能填+1和-1，任意两行对应的数字相乘再相加，结果必须正好是0。

　　但在此之前，668阶哈达玛矩阵难倒了所有具备“深度推理”能力的大模型。

　　但也别说AI不行，毕竟这道题已经难倒人类数学家整整30年了～

　　因此，这道题也被收录到陶哲轩等3位菲尔兹奖得主、 IMO顶级教练等60余人联合出题的FrontierMath大模型高阶数学推理基准测试中。

　　目前，FrontierMath基准测试的研发机构EpochAI已将这道“构造一个668阶哈达玛矩阵”开放题，暂时标为“由AI解决”。

　　如果确定解决，这将是FrontierMath基准测试中50个开放问题被AI解决的第四个！

　　更夸张的是，Alpöge藏进去的共有12张矩阵，直接扫清了2000阶以下所有悬而未决的Hadamard矩阵阶数。

　　啥是哈达马矩阵？

　　好，我们先进一步简单介绍一哈达玛矩阵。

　　1867年，西尔维斯特在论文中首次系统构造了±1元素的正交方阵，用克罗内克递归法生成所有2的幂阶（1,2,4,8,16…）矩阵，并命名为互逆铺砌（anallagmatic pavement）。

　　这个沿用至今的西尔维斯特递归构造公式，是哈达玛矩阵最基础的生成方式。

　　1893年，哈达玛证明了线性代数经典的哈达马行列式不等式：

• 　　所有元素绝对值≤1的n阶实方阵，行列式最大值为nn-2。

• 　　等号取到的充要条件，恰好就是西尔维斯特当年构造的那类±1正交矩阵。

　　哈达玛还补充构造了12阶、20阶非2幂的此类矩阵，完整揭示了它的极值行列式本质。

　　后世数学界为纪念他的理论定性工作，统一将这类矩阵命名为哈达玛矩阵。

△哈达玛

　　1933年，数学家佩利巧妙利用有限域二次剩余的符号特性，发明了系统构造哈达玛矩阵的“佩利构造法”，直接证明了大量特定阶数矩阵的存在性，成为该领域至今最核心的基石之一。

　　就此衍生出哈达玛猜想，即“所有4的正整数倍阶数都存在哈达玛矩阵”，至今仍是纯数学未被证明的公开难题。

　　总体来说，哈达玛矩阵不仅串联线性代数、有限域、数论与组合设计等多个高等数学分支，其构造性证明、高阶阶数存在性推导具备极强的长链条逻辑推理考察价值，关联着至今未被证明的哈达玛猜想，且可大量生成无网络泄露的原创推导题型。

　　这也是它被收录进FrontierMath基准测试的原因。

　　为啥是668阶？

　　2005年，数学家构造出428阶矩阵后，668接替它成为最小未知阶数。

　　此后二十多年，人类已经能造出尺寸大得多的矩阵，偏偏卡在668这里绕不过去。

　　也就是说，在今天之前，668阶哈达玛矩阵都是百年哈达玛猜想中最小的未被构造临界阶数。

　　而其分解式4×167依赖模4余3素数的佩利有限域高阶构造方法，长期仅能生成模意义近似矩阵、构造难度极大。

　　不过一旦突破，既为组合设计理论补充关键例证，也在编码、信号处理等工程领域具备实际应用价值。

　　因此，作为经典的离散数学界标志性问题，668阶哈达玛矩阵被收录进FrontierMath基准测试的50个开放问题中。

　　去年，有研究者做出668阶的“64模版本”。

　　它在模64意义下满足要求，距离真正的Hadamard矩阵仍差临门一脚。

　　Claude：看我如何联合人类做出668阶哈达玛矩阵

　　十二小时前，Levent Alpöge突然在𝕏上发了条“莫名其妙”的推文。

　　推文中只有整整23828个“+”和“-”，除此之外啥也没有。

　　画风如下：

　　乍一看都给吃瓜网友看懵了：

　　最有节目效果的是，MenloVentures合伙人Deedy Das想让Claude Fable解读这串加减号，结果Fable拒绝解码。

　　最后不得不换用GPT-5.6 Sol才看懂谜面。

　　真的，网友看了只能继续扶额苦笑：

　　让Alpöge解释一下吧，这位大佬的回复也颇具数学家浪漫主义气息。

　　直接甩出外行又看不懂的一张图！

　　（补充：该图片显示，矩阵采用了带有对角线、反对角线结构的分块形式）

　　好在AI时代，大家很懂得善用工具。

　　独立数学成果数据库VibeMathed随后复现了解码过程。

　　脚本最终吐出12组符号，分别对应668、716、892、1132、1244、1388、1436、1676、1772、1916、1948和1964阶矩阵。

　　这正是此前2000阶以下全部12个空缺。

　　复现者再用精确整数运算逐张检查，矩阵元素均为±1，任意两行的内积也确实为0。

　　668阶矩阵的对角线全部为668，非对角线最大绝对值为0，至少从计算验证看，答案严丝合缝。

　　此次解题的参与者包括Alpöge、Philippe Voinov、Saul Reynolds-Haertle，以及Claude。

　　Alpöge还开玩笑说，自己只认领那些糟糕的建议。

　　EpochAI暂时将题目标注为AI解决，同时明确可能依据后续信息调整结论。

　　也专门写明，目前无法判断这批结果来自一套改进的搜索策略，还是一条可推广的通用构造。

　　至于解题的具体规律、Claude如何发现它、方法能否继续推到2000阶以上，还得等完整技术报告揭晓。

　　One More Thing

　　目前，FrontierMath开放问题集的50个问题，算上这次的668阶哈达玛矩阵，已经被解决了4个。

　　有两个是由GPT解决的，另外两个是由Claude解决的。

　　就在过去不到一个月的时间里，张益唐啃了多年的雅可比猜想被人类联手Fable 5给推翻了；A社一个尚未公开的Claude研究模型把百年黎曼猜想的把下界推高了一大截……

　　回想AI 2.0早期，陶哲轩就吭哧吭哧用GPT来辅助解决数学题。

　　现在，AI似乎已经成为了人类数学家超级推演助理、永不疲倦的审稿人、高维空间探索器。

　　二者的深度绑定，正在加速人类对数理底层规律的认知速度。

　　参考链接：

　　[1]https://x.com/deedydas/status/2087577779613433891?s=20

　　[2]https://x.com/__alpoge__/status/2087504785952182273

　　[3]https://epoch.ai/frontiermath/open-problems/hadamard