各位朋友，大家好！“数学视窗”继续与大家分享一道与圆有关的证明题，这道题目有3个小问，前2小题都是证明题，难度都不大，属于学生应该能够做出来的常规题，第3小题则难度稍大，需要作辅助线，并利用全等三角形解决问题。

　　当然，如果学生没有掌握相关知识点，将仍然无法顺利做出来。此题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等。下面，我们就一起来看这道例题吧！

　　例题：（初中数学综合题）如图，已知AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE=CA，延长AE交⊙O于点F，连接CF交AB于点G．

　　（1）求证：CE2=AE*AF；

　　（2）求证：∠ACF=3∠BAF；

　　（3）若FG=2，求AE的长．

　　分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

　　（1）将结论变形可以得到线段比例式，由此想到可能需要证明三角形相似。先判断出∠ACE=∠AFC，进而判断出△ACE∽△AFC，得出AC2=AE*AF，再由CE=AC，即可得出结论；

　　（2）由于△AOC是等腰直角三角形，结合△ACE是等腰三角形，于是可以求出相关角的度数。先求出∠CAE=∠CEA=67.5°，进而求出∠BAF=22.5°，即可得出结论；

　　（3）过点G作GH⊥CF交AF于H，可以推出AH=HG=2，再求出FH，GH，最后判断出EF=FG，通过线段的相加减，即可得出结论．

　　解答：（以下的过程仅供参考，部分过程进行了精简，并且可能还有其他不同的解题方法）

　　（1）证明：∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，

　　∴弧AC＝弧AD，

　　∴∠ACE=∠AFC，（等弧所对的圆周角相等）

　　又∵∠CAE=∠FAC，

　　∴△ACE∽△AFC，

　　∴AC/AF＝AE/AC，

　　∴AC2=AE*AF，

　　∵AC=CE，

　　∴CE2=AE*AF；

　　（2）证明：∵AB⊥CD，

　　∴∠AOC=90°，

　　∵OA=OC，（都为圆的半径）

　　∴∠ACE=∠OAC=45°，

　　∵AC=CE，

　　∴∠CAE=∠AEC=1/2（180°-∠ACO）=67.5°，

　　∴∠BAF=∠CAF-∠OAC=22.5°，

　　∵∠AFC=1/2∠AOC=45°，（圆周角定理）

　　∠AEC=∠AFC+∠DCF=45°+∠DCF=67.5°，

　　∴∠DCF=22.5°，

　　∴∠ACF=∠OCA+∠DAF=67.5°，

　　∵∠BAF=22.5°（已证）

　　∴∠ACF==3∠BAF；

　　（3）如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，

　　∴∠FGH=90°，

　　∵在△FGH中，∠GFH=45°，

　　∴∠FHG=45°，

　　∴HG=FG=2，

　　∴FH=2√2，（通过勾股定理计算）

　　∵∠BAF=22.5°，∠FHG=45°，

　　∴∠AGH=∠FHG-∠BAF=22.5°=∠BAF，

　　∴AH=HG=2，

　　∴AF=AH+FH=2+2√2，

　　由（2）知，∠OAE=∠OCG，

　　∵∠AOE=∠COG=90°，OA=OC，

　　∴△AOE≌△COG（SAS），

　　∴OE=OG，∠AEO=∠CGO，

　　∴∠OEF=∠OGF，（等角的补角相等）

　　连接EG，

　　∵OE=OG，

　　∴∠OEG=∠OGE=45°，

　　∴∠FEG=∠FGE，（等量代换）

　　∴EF=FG=2，

　　∴AE=AF-EF

　　=2+2√2-2

　　=2√2．

　　（完毕）

　　这道题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，题目具有较强的综合性，构造等腰直角三角形FGH是解题的关键。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。