美国的数学教育，尤其是小学数学，已经危如累卵。这一观察来自得克萨斯大学奥斯汀分校Sarah Powell教授。她曾撰文指出，美国数学课堂上的七个典型误区，涉及探究式学习、成长型心态、数学评估等方方面面，引发激烈讨论。究竟什么样的数学教育，真正有助于孩子的学习？美国数学教育界正在掀起一场反思和重构。
“唐娜和娜塔莎一共折了96只纸鹤。唐娜折了25只，问，娜塔莎折了多少只?”
一道简单的数学题竟然难倒了一群三年级的孩子。
一个孩子在题目上写写划划，但没有进行任何运算；另一个孩子草草写下“96”，就放弃了思考；还有的孩子写了一些和题目无关的数字；超过半数的孩子在计算“96+25”；只有两个孩子给出了正确的解答：96-25=71。
“这样的例子我还能举出几百个！”抛出这道问题的是得克萨斯大学奥斯汀分校的Sarah Powell教授，她多年从事特殊教育和数学干预。在她看来，美国的数学教育，尤其是小学数学，已经危如累卵。
Sarah Powell教授
图片来自得克萨斯大学奥斯汀分校官网
去年进行的美国国家教育进步评价（NAEP）也显示，13岁孩子的数学成绩进一步下降。
这样的糟糕现状，让Powell觉得必须行动起来。去年以来，美国各州大刀阔斧地用阅读科学改革了阅读教育。受此启发，她也发起了“数学科学”运动（science of math）。
去年，她和抱着同样想法的另外两名教授——宾夕法尼亚州立大学的Elizabeth Hughes、俄克拉荷马大学的Corey Peltier——共同撰写了一篇长文《毁掉数学教学的几个谬论》，先后引用了100多项研究，一口气指出了美国数学课堂上的七个典型误区：
1、必须先解释数学概念，后学习步骤（比如公式）
2、教授算法（比如长除法）有损心智发展
3、探究式学习是最好的学习方法
4、挑战难题可以锻炼孩子的勇气
5、成长型心态可以提高数学水平
6、执行功能训练（比如注意力）很重要
7、 定期评估会导致数学焦虑
Powell和“数学科学”的志愿者们认为，美国的数学课堂，低效教学大行其道，科学的教学方法却鲜少被运用。
富裕家庭已经转向价值数十亿美元的课外数学辅导寻求帮助，这些辅导机构不仅指导明确，还会确保孩子有足够的练习。而这些都是校内数学课本就该完成的任务。
不出意料的是，这篇长文一发布，就引起了美国数学教育圈内的激烈讨论，老师、教授、家长都发表了自己的观点。
但Sarah Powell始终坚持自己的观点——数学教育需要科学的教学方法。尊重学习和认知的发展规律，让教学适应孩子，而不是孩子适应教学。
01
老师把孩子都当天才，
忘记了他们还是初学者
在一篇报道下，一位在一线进行数学干预的特殊教育老师说，辅导了很多学生后，她发现美国数学教学有个重大问题——孩子们根本构建不起来自己的数学知识网络。
这恰恰就和《毁掉数学教学的几个谬论》中提到的前三个典型问题有关：
因为害怕重复练习、记忆背诵会损害学生的数学推理能力，老师们对此敬而远之，花大量的时间解释概念后，才小心翼翼地让他们接触计算和公式，有些甚至彻底地反对教学生计算方法。
但在Powell教授看来，这种教学并不符合学生的学习规律，特别是低年级的学生。
孩子是怎么学会数学的？一是他们知道“是什么”（概念性知识），二是他们知道“怎么用”（程序性知识）。
在一次电台连线中，Powell讲述了两位数加法的例子。
为了解决“进位”这个难点，她先让孩子们用堆方块的方式，体会什么是数位、为什么加法会有进位。然后，她就会引入比较抽象的竖式计算，教孩子们计算方法：先个位数相加，判断进位，再十位数相加。
“比如25+26，孩子知道要先计算5+6，画方块也好，心算也好，得出11，这时候就遇到进位了。如果孩子们在计算中遇到困难，我还会再把数位和进位的概念讲解一遍。
当他们的思维能从具象的方块转换到抽象的数字系统，自然就对‘满十进1’的进位概念有更深的理解，还锻炼了笔算能力。”
但现在的情况是什么？有老师花了两星期讲解负数的概念，负数在生活中的应用，可对学生们的真正难点——负数运算的变号规律——却草草带过。
Powell并不反对通过生活场景、教具、活动引入新的数学概念。可问题是：概念性知识学习要花多久？程序性知识学习又能分到多少时间？怎么才知道孩子是不是真的理解了概念？怎么能让孩子们牢固地掌握解题方法？
学习数学，概念性知识和程序性知识缺一不可。也早就有实验发现，将内容和问题交错起来的“ABCBCAACB“式学习，效果明显会好于“AAABBBCCC”的顺序式学习。
坚持“先学概念，后学方法”或者干脆“不学方法”的教学理念，无疑是捡了芝麻，丢了西瓜。
而备受老师们喜爱的探究式学习，要想有好效果，也离不开对概念性知识和程序性知识的掌握。
Powell曾和荷兰开放大学教育心理学名誉教授Paul A. Kirschner进行过探讨。Kirschner教授表示，孩子们都是数学的初学者，但不是“缩小版”数学专家。适用于专家的学习方法很可能不适用于初学者，甚至还有害。
荷兰心理学家和国际象棋大师Adriaan de Groot就有个发现：国际象棋大师们很强，并不仅仅是因为他们的推理能力很强，而是因为他们记住了更多有意义的棋局。
在看到一盘残局时，他们能迅速与记忆中的所有棋局比较，从而决定怎么走。可以说，他们的推理能力和记忆、回忆能力密切相关。
这就是专家探索问题的方法——以解决问题为导向，快速抓住问题的关键，再从知识储备中寻找方法。这里涉及深层的概念知识，以及大量解决问题的程序性知识。
而初学者呢？往往会用“手段-目的分析法”，不是先分析问题，而是先尝试自己知道的各种方法，再看这些方法有没有能解答问题的。
有一道经典的数学题：“玛丽和比尔共有10美元，玛丽的钱比比尔多2美元，问两人各有多少钱。”
在探究式学习的课堂上，孩子们用的最多的手段就是猜测了。甚至有的孩子阅读能力还不过关，都不太能理解“A比B多”到底是“A多”还是“B多”。
与之形成鲜明对比的是新加坡的教学。老师们会教孩子使用“解题工具”，比如数形结合，通过画条块图来解题。以后遇到类似的问题，孩子们也能举一反三。
就像Kirschner教授说的，我们所知道的决定了我们所学的。如果孩子们的数学大厦连骨架都没有，不要说享受探究式学习的好处了，他们连学习新知识都会很费力。
02
每个孩子都在做一样的题，
没有因材施教加重了数学焦虑
在美国的数学课上，Powell还注意到这么两种看起来特别矛盾的想法：
一是为了让孩子不害怕数学，鼓励他们挑战难题；二是担心孩子产生数学焦虑，取消定期评估（比如随堂测验或者周测验）。
Powell觉得，老师们完全没抓住问题的重点——学生的数学焦虑，不是因为缺少勇气，而是因为没能接受适合的辅导，要么一直碰壁，要么知难而退，从来没有正视过问题本身。
她不否认有的学生能力比较强，只需要一两句点拨就能恍然大悟。但她也强调，挑战难题需要难度适中，如果题目涉及的技能和思考方法超过了学生的能力，那这种挑战就没有效果。
新南威尔士大学悉尼分校的一项研究印证了她的观点。研究者们请64名五年级学生解答他们从未了解过的灯泡照明效率问题。
一组学生先接受教学指导，再答题，另一组学生先答题，再接受指导。
几天后用相似的题进行测验，结果表明，先接受指导再做题的学生比一开始就硬着头皮答题的学生表现更好。
因此，根据学生的能力配备教学支架，引导他们从会做的题过渡到独自挑战。在Powell看来，这才是“挑战难题”应有的做法。
Kirschner教授也曾在《学习是如何发生的》一书中举例过一种简单的支架：先给学生看有完整解题过程和答案的样例，再让他们运用样例的思路，在给出了部分解题过程的习题中补上空缺部分，随着习题的提示越来越少，最后学生可以独自挑战一整道题目。
Kirschner教授举例的教学支架样例，
给出了所有解题步骤
“学生通过努力，可以找出不明显的信息，能预见某个思路或方向能得到什么结果，才能纠正自己的错误，或者直接找到解题方法。”否则就像是让一个普通人去徒手攀岩。
而定期评估，本来也该是因材施教的一环，现在却成了知难而退的借口。
Powell描绘了一个常见的场景：
每个孩子发到一模一样的乘法练习卷，老师规定，规定时间内正确率不到90%的，课间就要多做5分钟题。
于是，孩子们奋笔疾书。时间到后，老师宣读答案，学生交换改分。
最后，分数还被公开到教室布告栏上，美名其曰“跟踪学习进度”。
其中的问题，Powell随便就摘出好几个：所有人都做一样的题；题目没有区分度；公开分数和排名……但根本的问题在于，本来是为了评估学习效果，结果变成了评估名次。
这种评估没让学生产生数学焦虑可能反倒不正常。
要知道，定期评估有两个非常重要的作用：一是让大脑不断提取已经学过的知识，提高学习效果；二是反映学生当前的学习状况，及时查漏补缺。
图片来源：《激活你的学习脑》
Powell理想中的评估是这样的：
如果是全班评估，那题目要足够多，学生做不完也没关系，也要有足够的区分度，能看出学生对知识的掌握情况；
不要把评估变成考试，让学生参与追踪自己的成绩变化，但不要公开排名；然后，老师可以根据评估的情况，给予相应的辅导。
芝加哥大学的两名教育学博士曾做过这么个研究：
第一组常规教学：学生在一个普通班级跟老师学习，并定期测试；
第二组掌握学习：比第一组多了一个要求，测试不合格的学生必须接受辅导，通过测试后才能学习新内容；
第三组辅导学习：比第二组多了单独向教师请教的许可，还可以在至多三人的小组中共同学习。
三周以后，测验结果不出所料，第一组得分最低，第三组得分最高。第三组的平均分超过了第一组98%的学生的分数，第二组的平均分也超过了第一组84%的学生。
《The 2 SigmaProblem》中记录的实验结果
可惜的是，现实中很难普遍做到第三组那种一对一辅导。但至少也可以争取一下第二组的模式。
在Powell看来，既然老师认为数学焦虑是个问题，那就要从根本上找原因、想办法，而不是把责任推到它身上就撒手不管了。
03
教师缺少教学指导，高大上
的教学研究，落地都变了形
但是，把数学教育的种种问题都推到老师身上，也是不公允的。有不少一线老师表示，自己也很想帮孩子学好数学，可是面对五花八门的问题，又毫无头绪。
这和数学教学本身长期被低估和忽视，离不开关系。
波士顿大学的心理学家、“数学科学”的发起者之一Amanda VanDerHeyden就表示，小学数学老师和初高中数学老师不一样，后者很多是因为热爱和擅长数学而选择了这一行，但很多小学老师对数学未必有那么多热情。
同时，他们还面临着共同的问题，除了数学知识不完备，他们的教学技能也没有得到很好的培训。
Powell也观察到，很多数学老师意识到了自己教学的短板，也关注着教育圈内的潮流。但他们往往着急抛弃传统的教学法，过分迷信一些高大上的研究，课并不知道怎么合理运用，结果适得其反。
她长文中提到的执行功能锻炼和成长型思维就是两个典型。
执行功能是近来心理学的一个研究热门，最简单的理解，就是认知能力和注意力。比如，正在学加减法混合运算的学生，看到“4-3=”可能第一反应是“7”，但是再读一遍题，发现中间是个“-“号，就会明白答案应该是“1”。
尤其是刚上小学的学生，他们大脑还远远没有发育完全，执行功能确实会一定程度影响他们的学习。
但是，在翻阅了很多相关研究后，Powell也注意到，不少心理学研究者都认为，尽管单独训练可以提高执行功能，但这种训练对学习的积极影响还缺少足够的证据。
因此，Powell也反问，在这样的情况下，每节课都单独花10分钟来训练跟数学学习没有直接关联的执行功能，有必要吗？为什么不是从教学方法上想办法，既提高学生的注意力，也帮助数学学习呢？
比如在教学中使用系统的、明确的数学语言；使用可以锻炼注意力的练习题；教学生审题、解题的步骤；通过圈出关键词、二次检查等方法减少出错……
Powell认为，学生经过反复练习，就能让相应的数学知识、运算技巧变得更加自动化，减少认知负荷，从而能把注意力放到其他任务上。
而另一个成长型思维理论，也已经流行了多年，吸引了很多教师，还被当成把孩子们从重复训练、数学焦虑中解救出来的救命稻草。
但是，老师们真的了解如何运用这个理念吗？是在教室墙上贴上“相信自己”的海报，还是告诉学生“天赋不重要，只有努力才重要？”
几年前，凯斯西储大学心理系和密歇根州立大学心理系在一项联合研究中发现，这种口号式的鼓励对于改变学生的自我评价效果不大。
真正影响学生看法的是动机——如果一节课主要由考试成绩来评判，那么学生就很难关心自己的能力是不是有所增长，总会问：“我的能力够吗？”
相反，如果课程的目标是学会新的知识，掌握新的能力，学生就倾向于问老师：“我怎样才能提高自己的表现和能力？”
新西兰的教育研究者Graham Nuthall曾精妙地指出学习和动机之间的关系——学习需要动机，但动机并不一定导致学习。
老师们应该做的，是和学生强调，成功不是由考试分数决定的，而是基于他们对具体知识的掌握程度，把学生的注意力从分数转移到能力表现上来。
比如能不能理解特定术语，能不能和别人解释学过的数学概念，能不能用和书上不同的实验来验证一些数学公式，能不能把数学知识应用到日常生活中。
同时，老师也不该简单地否定天赋，而是要诚实地告诉学生，天赋确实扮演了重要角色，但是，努力同样对成功有不可忽视的作用，并且还会不断促进今后的学习，是越学越好必不可少的能力。
数学教学从不像看上去的那么简单，就像德国数学家、教育家Erich Christian Wittmann在《连接数学和数学教育》中说的：“我们面临的是一项真正的跨学科任务，必须将数学要素、数学历史、数学应用、认识论、心理学、教育学和数学课程融合在一起。”
关于数学教育的争论在美国由来已久，密歇根大学安娜堡分校的数学教育教授Deborah Loewenberg Ball甚至已经对这样的争论感到疲惫，但她觉得“数学科学”运动还是提出了一些有价值的问题。
她认为，要找到最有效的数学教学方法，当务之急是教育系统上下对数学教学的目标达成一致。“我们希望孩子能够准确计算吗？我的答案是yes。但并非所有人都同意，这应该是数学教育的主要目标。仅仅使用‘科学’一词，无法解决问题。”
阅读科学已经受到重视，改变了美国各地的阅读课。“数学科学”运动会不会像“阅读科学”一样改变美国的数学课堂，还需要时间来验证。
